Искусственный интеллект и математическое творчество
С тех пор как Suno начала генерировать странную фоновую музыку, а Tilly Norwood — выдавать реплики в стиле службы поддержки, искусственный интеллект серьезно потряс творческие индустрии. Теперь в этот список можно добавить и математику: OpenAI заявила, что с помощью тысяч агентов решила задачу о существовании и гладкости решений уравнений Навье-Стокса, которая оставалась нерешенной десятилетиями. «Художники и музыканты уже прошли через это», — комментирует Джасприт Сингх Сандху, математик из Университета штата Колорадо.
Вопреки тому, что может показаться на школьных экзаменах с ограничением по времени, математики вовсе не стремятся получить правильный ответ как можно быстрее. Фактически, в противовес представлению о математике как о сугубо прикладной дисциплине, разработка новых математических идей зачастую напоминает творческий поиск, подобный изобретению игры или головоломки. Математики обычно следуют вдумчивому и тщательному процессу при работе над своими концепциями. OpenAI же подошла к доказательству с позиции «грубой силы», срезав углы таким образом, что это ставит под угрозу человеческое понимание предмета.
Математика как форма искусства
«Математик, подобно художнику или поэту, создает узоры», — писал английский математик Г. Х. Харди в своем эссе 1940 года «Апология математика». Как описывает Харди, художник использует формы и цвета, поэт — слова, а математик конструирует паттерны из идей. Харди, будучи пацифистом, написал это эссе во время Второй мировой войны, чтобы доказать: люди должны заниматься математикой ради нее самой, независимо от прикладных аспектов, особенно военных. Его труд пропагандирует «бесполезную» математику. В качестве примера идеальной красоты «бесполезной» математики он приводит часто цитируемое высказывание знаменитого Карла Фридриха Гаусса о теории чисел — разделе математики, изучающем целые числа.
Хотя сравнение математики с искусством, проведенное Харди, верно, в деталях он оказался неправ: после столетий бесполезности теория чисел стала важнейшей основой для криптографических протоколов, которые сегодня повсеместно используются для защиты электронной почты и банковских счетов. Однако в настоящий момент «бесполезность» — это именно то, что характеризует доказательство OpenAI.
Загадка уравнений Навье-Стокса
Решенная задача на протяжении десятилетий интересовала математиков сама по себе. Ее название происходит от уравнений Навье-Стокса, разработанных учеными XIX века для описания потоков вязких жидкостей. Инженеры используют эти уравнения для моделирования воздушных потоков при проектировании самолетов, но математиков увлекли сами уравнения, а не их применение. «Главный интерес математиков к этим уравнениям заключался вовсе не в инженерии», — отмечает Джаред Спек, математик из Университета Вандербильта.
По его словам, ими двигало «математическое богатство, аспект головоломки». Решение этой задачи никому не поможет спроектировать более аэродинамичное крыло самолета. Иначе говоря: многие торты цилиндрические, но изучение уравнений, описывающих цилиндр, не обязательно поможет испечь лучший торт. «Когда задачи сопротивляются решению, они обрастают неким фольклором», — говорит Спек. Притягательность уравнений Навье-Стокса сродни увлечению судоку или шахматами, которые не имеют никакой пользы, кроме удовольствия и интеллектуальной стимуляции.
Эти уравнения лишь приблизительно описывают потоки жидкости в реальном мире. Но математики вообразили, как эти формулы будут работать в маргинальном, почти научно-фантастическом контексте, просто потому, что это было интригующе. Они сформулировали загадку: могут ли уравнения в нереалистичных условиях подразумевать, что жидкость может взорваться без какой-либо физической причины? Математики ожидают, что приближенные уравнения, подобные Навье-Стокса, могут описывать подобные абсурдные ситуации, что вызывает особый интерес, так как иногда это ведет к принципиально новым идеям. Спек отмечает, что годами сообщество выстраивало вокруг этих уравнений «глубокую и красивую теорию». Математики были на пороге разгадки, когда доказательство OpenAI подтвердило: да, уравнения Навье-Стокса действительно допускают «фантастический» взрыв жидкости.
Проблема понимания и верификации
Хотя существуют люди, выполняющие математическую работу ради конкретных результатов — например, для создания новых криптографических протоколов или алгоритмов оптимизации в робототехнике, — математическое сообщество в целом «интересует больше, чем просто ответ „да“ или „нет“ на задачу», считает Спек. Существует также проблема понимания самого итогового ответа. Когда люди пишут доказательства, они структурируют свои аргументы, опираясь на предыдущие исследования, на которые ссылаются. Они тратят месяцы, а иногда и годы, на написание и разъяснение шагов своих доказательств, пытаясь убедить коллег в верности своих умозаключений. Это можно сравнить с доработкой стихотворения, но с использованием логики вместо эмоций.
Этого не произошло с доказательством Навье-Стокса от OpenAI. Языковые модели (LLM) не дают надежных ссылок на источники и не объясняют свои выводы достаточно ясно для человека. На данный момент 166-страничное доказательство находится на стадии рецензирования, и у экспертов еще не было времени подтвердить его обоснованность.
Критика и опасения математического сообщества
Математики подвергли критике компанию OpenAI за отсутствие прозрачности в процессе получения решения. Тристан Бакмастер, математик из Нью-Йоркского университета, предположил, что компания могла использовать его работы и исследования других ученых без надлежащего указания авторства. «Мы даже не знаем, насколько автономным был этот процесс и какой объем человеческого опыта потребовался для его подготовки», — отмечает Сандху.
По мнению Спека, из-за этих и других факторов «практически никто в моем сообществе по-настоящему не понимает, что происходит». Он подчеркивает, что само доказательство было выполнено в крайне непривычном порядке: сначала компьютер выдал результат, а теперь люди пытаются понять, в чем его суть, и «мы находимся только в самом начале этого пути».
Сандху подписал онлайн-декларацию под названием «Серьезное несоответствие ИИ в математике» (A Severe Misalignment of AI in Mathematics). В документе утверждается, что массовое производство доказательств «может уничтожить благодатную почву вместо того, чтобы вдохнуть жизнь в новые идеи». Первыми подписантами декларации стали 25 лауреатов Филдсовской премии, которую часто называют «Нобелевской премией по математике».
Сандху, который, как и многие другие математики, уже использует ИИ в своей работе, подчеркивает, что декларация не направлена против самих технологий. Для него она означает, что «математическая культура ценит понимание». Высокая скорость, с которой большие языковые модели (LLM) генерируют доказательства, может привести к тому, что «мы получим решенные задачи без их понимания».
В ответ на декларацию OpenAI на этой неделе сформировала консультативную группу из математиков, чтобы направлять использование ИИ в компании. «Мы считаем, что эта критика подчеркивает необходимость вдумчивого взаимодействия между ИИ-компаниями и математическим сообществом», — сообщил представитель OpenAI по электронной почте, добавив, что компания хочет, чтобы «математики имели значимый голос» в вопросах применения ИИ.
Риски для человеческого творчества
Независимо от способов использования, скорость работы LLM может препятствовать человеческому творчеству. Хотя модели все еще склонны к ошибкам, они способны выполнять длительные вычисления, которые сами математики находят утомительными. Лоренцо Гавассино, физик-теоретик из Кембриджского университета, считает, что математики могут упустить ценные инсайты, делегируя все подобные расчеты ИИ. «Когда вычисление оказывается сложнее, чем ожидалось, вплоть до того, что это начинает обескураживать — именно тогда возможен наибольший прогресс», — говорит он.
Борьба с трудностями вдохновляет математиков на изобретение новых концепций. В качестве примера Гавассино приводит открытие мнимого числа i (квадратного корня из –1). Математики изобрели его в XVI веке после поколений попыток решения кубических уравнений, содержащих член x³ и отсутствие более высоких степеней. Эта концепция породила совершенно новую область — комплексный анализ.
Спустя столетия физики начали использовать мнимые числа в уравнениях для описания квантовой механики, опираясь на теоремы математиков об i для построения своего понимания электронов, атомов и, в конечном итоге, квантовых компьютеров. Как и многие другие математические концепции, мнимое число изначально казалось практически бесполезным. Практический успех математических идей зачастую раскрывается лишь спустя поколения: сначала ученые глубоко прорабатывают логику концепции, а затем находят применение в контекстах, о которых изначально никто не задумывался.
Вопрос о будущем исследований
Гавассино упоминает поговорку: «Хорошие математики доказывают теоремы, великие — предлагают гипотезы, а величайшие из всех — дают определения». По его словам, это можно сравнить с игрой: хорошие математики выигрывают в игру, великие предлагают способы победы, а величайшие изобретают саму игру. В случае с уравнением Навье-Стокса и другими областями, где ИИ предложил доказательства, LLM продемонстрировала, как выиграть игру, но Гавассино считает, что технология еще далека от способности придумывать новые правила.
Гавассино не боится, что LLM будут заниматься математикой лучше него. Он рассматривает модели как еще один инструмент — обладающий, впрочем, надежностью «пьяного человека». По его мнению, их можно использовать ответственно и творчески. Однако он не доверяет тому, как лидеры могут использовать преувеличенные представления о возможностях ИИ в политических целях.
«Я опасаюсь, что некоторые люди с не самыми благими намерениями могут начать говорить: «Знаете что? Нет необходимости финансировать исследования. Мы можем позволить ИИ делать открытия вместо ученых»», — говорит Гавассино.
Стоит отметить, что компания OpenAI потратила миллионы долларов — сумму, сопоставимую с годовым доходом десятков академических математиков — на вычислительные мощности для генерации доказательства. Аналогичные средства могли бы профинансировать десятки аспирантов, каждый из которых потенциально способен найти новые творческие решения и разгадать сложные задачи.
Риски внедрения ИИ в математическое сообщество
Математическое сообщество на протяжении долгого времени опиралось на модель «учитель-ученик» как на устойчивый способ генерации новых идей на протяжении поколений. Как отмечает Спек, в начале своей карьеры он получал задачи, которые более опытные коллеги, вероятно, могли бы решить быстрее или проще, однако они инвестировали в его развитие, предоставляя возможность профессионального роста. Теперь же искусственный интеллект способен «собирать низковисящие плоды» математики, тем самым создавая угрозу для молодых исследователей: он может опережать их в решении задач и лишать студентов необходимых возможностей для обучения.
Угроза творческому потенциалу
Подобный сценарий способен перекрыть канал человеческого творчества, на котором строится вся дисциплина и который приводит к масштабным достижениям, о которых математики могли даже не задумываться. Гавассино подчеркивает, что попытки найти ответы на фундаментальные вопросы вынуждают специалистов разрабатывать новые идеи, техники, стратегии и языки, которые впоследствии находят применение в других областях. Именно этот творческий процесс привел к появлению самих больших языковых моделей (LLM).
Взаимосвязь технологий и математики
Изучение дифференциальных уравнений и комплексного анализа позволило создать лазеры для травления компьютерных чипов, на которых функционируют нейросетевые модели. Само программное обеспечение состоит из нейронных сетей, выполняющих вычисления с помощью инструментов линейной алгебры — математической дисциплины, зародившейся еще в XVII веке. Компании-разработчики ИИ наполнили свои модели знаниями, накопленными поколениями человеческого разума. Теперь, когда модели обучены, а корпорации стремятся к достижению триллионных оценок капитализации, существует риск, что эти компании могут вытеснить то самое сообщество, которое изначально создало продукт, приносящий им прибыль.
